\documentclass{article}
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\newmdtheoremenv[
  backgroundcolor=gray!10,
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]{zgraytheorem}{}
% 定义说明环境样式
\newtheoremstyle{mystyle}% 说明环境样式的名称
  {1em}% 上方间距
  {1em}% 下方间距
  {\normalfont}% 说明内容的字体样式
  {}% 缩进量
  {\bfseries}% 说明标记的字体样式
  {.}% 说明标记和说明内容之间的标点
  {1em}% 说明标记后的水平空间
  {}% 说明标记后的垂直空间
% 使用新定义的样式创建说明环境
\theoremstyle{mystyle}
\newtheorem*{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{5.4 推论}
\maketitle

\textbf{1.书中对命题5.4.12（有理数对实数的界定）的表达感觉有点奇怪。}

不是说命题不正确，而是命题中提到了正整数，虽然正整数是嵌入到有理数中的。
如果把命题中的正整数改为正的有理数话，有理数界定了实数，而整数界定了有理数（命题4.4.1），
这样的表达更加统一。

\textbf{2.书中的命题5.4.12（有理数对实数的界定）只说明了正实数的情况，这里证明对所有实数，命题的正确性。}

\begin{zgraytheorem}
  \begin{zremark}
    这里需要把命题中的$x$改为实数，不限定其是正的，把$q,N$分别改为有理数$q,p$，且不限定为正的。
  \end{zremark}
\end{zgraytheorem}

证明：

通过实数的三歧性分别证明。

当$x$是正的，则书中已经证明过。

当$x=0$，可以直接取$q=0,p=0$此时命题成立。

当$x$是负的，此时$-x$是正的，则存在$q,p$使得$q \leq -x \leq p$，所以$-p \leq x \leq -q$（实数也满足习题4.2.6）。

综上，命题证明完成。

\textbf{
  推论5.4.13（阿基米德性质）对负的实数也有类似的性质：设$x,\epsilon$是任意的负实数，
  那么存在一个正整数$M$使得$M\epsilon < x$。
}

证明：

证明方式和书中类似。

数$x / \epsilon$是正的，利用命题5.4.12可知，存在一个正整数N使得$x / \epsilon \leq N$。

如果令$M := N + 1$，那么$x / \epsilon < M$。由于$\epsilon < 0$，两端同时乘以$\epsilon$，
就得到了要证明的结论。

\end{document}